Estabilidad y dinámica de modos ópticos en estructuras no lineales, helicoidales y PT-simétricas

Dr. Claudia Castro Castro
2 de Diciembre del 2020

Seminario “Dr. Alberto Rubio” Facultad de Ciencias UABC

Índice

Introducción
- Definición de onda
- Antecedentes
- Características de fibras ópticas
Fenómenos ópticos lineales vs no lineales
Ecuaciones de Maxwell
Ecuacion discreta no lineal de Schrödinger
PT-simetría
Fibras helicoidales
Existencia y estabilidad
Conclusiones

Definición intuitiva de onda

Cualquier señal reconocible que se transfiere de una parte del medio a otra con una velocidad de propagación reconocible

Antecedentes

1790s: “Telégrafo óptico” inventado por Claude Chappe Telegrafo optico y sus simbolos

Courtesía de Wikipedia Commons

1840s: Daniel Collodon y Jacques Babinet demostraron que la luz podía guiarse a través de chorros de agua para exhibiciones de fuentes.
Cuando los rayos de luz en el agua golpean el borde del chorro con un ángulo, la reflexión interna total los atrapa en el líquido.
Refracción en la superficie depende de la diferencia en el índice de refracción; cuanto mayor es la diferencia, más refracción

Reflexión interna total (TIR)

Es un efecto secundario de la refracción, la curvatura de la luz que pasa de un material transparente a otro.

$Refraction de vidrio a aire$

Courtesía de Hecht, J. City of Light: The Story of Fiber Optics, 1999

Índice de refracción \[ n=\frac{\text{velocidad de la luz en el vacio}}{\text{velocidad en el material}} \]
Ley de Snell \[ n_1 \sin{\theta_1} = n_2 \sin{\theta_2} \]
Resposable por

Courtesía de Wikimedia Commons

Reflexión interna total (TIR)

Courtesía de Hecht, J. City of Light: The Story of Fiber Optics, 1999

La luz que golpea la superficie casi directamente se refracta en el aire
Hay un ángulo crítico donde no puede emerger al aire, se mide a partir de una línea llamada normal que es perpendicular a la superficie.
Si $ \theta_1 > \sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right) $ $ \Rightarrow \sin \theta_2 > 1 \;\;(!) $
La luz fuera del ángulo crítico se refleja de nuevo en el cristal.
ángulo crítico $ \theta_c = \sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right) $ existe solo cuando $ n_2 < n_1 $, entonces TIR ocurre solo dentro del medio con índice más alto

Demonstration of Total-Internal-Reflection(TIR) in a wine glass

Courtesía de Keerthi, CC BY 4.0 via Wikimedia Commons

Inicios de las fibras ópticas

Generaciones de artesanos, inventores, ingenieros y científicos desarrollaron la tecnología para hacer vidrio

Es maleable cuando está caliente, así como la transparencia del sólido, lo que lo ha convertido en un material atractivo.
El ingrediente más importante del vidrio común es el dióxido de silicio, un mineral duradero conocido como Sílice/Silica.

1930s: Heinrich Lamm (médico) primera persona conocida que ha demostrado la transmisión de imágenes a través de un arreglo de fibras ópticas

Sin embargo, las fibras descubiertas transmitían imágenes de manera deficiente.

1950s: Van Heel y O'Brien recubren una fibra descubierta con un material de índice menor mantendría la TIR mientras protege la superficie óptica

Fibras revestidas de vidrio tenían una atenuación de aproximadamente un decibel por metro (dB/m), lo que está bien para imágenes médicas, pero demasiado alto para comunicaciones.

Fibras ópticas

Courtesía de depositphotos.com

Pertsch et al. Nonlinearity and disorder in fiber arrays. Physical Review letters, 2004

Joannopoulos et al. Photonic crystals: molding the flow of light. Princeton University Press, 2011.

Características de las fibras ópticas

$Esquema de fibra optica dielectric y el perfil de indices de refraccion$

Agrawal G., Nonlinear fiber optics, Academic Press, 2013

En su forma más simple, una fibra optica consiste de un nucle de cristal rodeado de una revestimiento con índice de refracción $ n_c $
Índice de refracción del revestimiento es $ n_1 $
con $ n_c < n_1 $
El material de elección para las fibras ópticas de baja pérdida es el cristal de sílice puro sintetizado mediante la fusión de moléculas de $ SiO_2 $.
La diferencia del índice de refracción entre el núcleo y el el revestimiento se realiza mediante el uso selectivo de dopantes durante el proceso de fabricación. Los dopantes como $ GeO_2 $ y $ P_2 O_5 $ aumentan el índice de refracción de del sílice y son adecuados para el núcleo
Poder transmitido \[ P_T = P_0 exp(-\alpha L) \] $ P_0 $ poder inicial, $ L $ longitud, $ \alpha $ constante de atenuación

Dispersión

Cortesia de Pixabay

Como cuando una piedra que cae en un estanque inmóvil produce ondas en la superficie del agua, eventualmente desaparecen y se desvanecen
Un rayo de luz puede extenderse cuando viaja a través de diferentes medios.
La dispersión temporal y la difracción espacial se deben a la dependencia del índice de refracción de la frecuencia y la longitud de onda
Ambos causan un ensanchamiento espacial y temporal de la luz.

Ecuaciones de Maxwell

La luz es una onda electro-magnética que consiste de un campo eléctrico y un campo magnético oscilando a una tasa muy alta ($ 10^{14} $ Hz) viajando en el espacio con una dirección perpendicular a ambos campos vectoriales

\[ \begin{align} \nabla\times\mathbf{E}=&-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\\ \nabla\times\mathbf{H}=&\mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\\ \nabla\cdot\mathbf{D}=&\rho_{v}\\ \nabla\cdot\mathbf{B}=&0 \end{align} \]

$ \mathbf{E} $ campo eléctrico [$ V/m $]
$ \mathbf{B} $ densidad de flujo magnético [$ T $]
$ \mathbf{H} $ campo magnético [$ A/m $]
$ \mathbf{D} $ densidad de flujo eléctrico [$ C/m^2 $]
$ \mathbf{J} $ densidad de corriente eléctrica [$ A/m^2 $]

$ \mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E} $
$ \mathbf{B}=\mu \mathbf{H} $
$ \mathbf{J}=\sigma \mathbf{E} $

$ \varepsilon= \varepsilon_0 \varepsilon_r $ dielectric permittivity
$ \mu= \mu_0 \mu_r $ permeability
$ \sigma $ electric conductivity

Ecuación de onda

El campo vectorial eléctrico satisface la ecuación de onda \[ \nabla^2 \mathbf{E}(\mathbf{r},t)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}(\mathbf{r},t) }{\partial t^2}=0 \]
T-simetría: ecuación es invariante w. r. t. tiempo $ t\rightarrow -t $

Óptica lineal vs no lineal

Lineal : las ondas electromagnéticas inducen una separación de las cargas en el material, es decir, una polarización $ P_L $, la cual es directamente proporcional al campo eléctrico \[ P = \varepsilon_0 \chi^{(1)} E \] donde $ \varepsilon_0 $ es la permitividad del vacío y $ \chi^{(1)} $ es la constante de susceptibilidad.

Interacción de la luz con la materia no modifica las propiedades de onda
Ejemplos de fenómenos ópticos lineales:

Reflexión

Refracción

Photocromia

$ \diamond $ Linealidad es una suposición que solo es válida para bajas intensidades
$ \diamond $ Casi todos los materiales tienen algunos efectos no lineales si la fuente de luz solo es lo suficientemente potente altas intensidades

Óptica no lineal

No lineal: describe el comportamiento de la luz en medios en cual el componente dieléctrico de la polarización responde a la forma no lineal del campo eléctrico de la luz $ E $ \[ P=\varepsilon_0 \chi^{(1)}E + \varepsilon_0 \chi^{(2)}E^2 + \varepsilon_0 \chi^{(3)}E^3+\dots \]

2nd order susceptibility \[ \chi^{(2)} \approx 1.94\times10^{-12}\;m/V \]
3rd order susceptibility\[ \chi^{(3)} \approx 3.78\times10^{-24}\;m^2/V^2 \]
Para fibras de sílice $ SiO_2 $ el effecto de segundo orden es despreciable
$ \chi^{(3)} $ está asociada al effecto Kerr
Polarizacion total: lineal + no lineal \[ P(\omega) = \varepsilon_0 \chi^{(1)}E(\omega)+3\varepsilon_0\chi^{(3)}|E(\omega)|^2E(\omega) \]
Effective susceptibility \[ \chi_{eff} = \chi^{(1)}+3\chi^{(3)}|E(\omega)|^2 \]
Está ligada al índice de refracción \[ \bar{n} = 1+\chi^{(3)}=\bar{n}_0 +\bar{n}_2\;I \]

Óptica no lineal: effecto Kerr

Descubierta por John Kerr en 1875
Describe situaciones donde el índice de refracción depende de el campo eléctrico como \[ \bar{n}(\omega, |E|^2)=\bar{n}_0(\omega) + \bar{n}_2(\omega)|E|^2 \]
Para sílice es $ 1.3\times10^{-22}\; m^2/V^2 $

Derivación de la ecuación de Schrödinger

En medio Kerr el índice de refracción depende de la intensidad del campo eléctrico $ I(t) $ \[ \bar{n}(t)=\bar{n}_0 + \bar{n}_2 I(t), \;\;\;I(t)=2\bar{n}_0\varepsilon_0 c |A(z,t)|^2 \]
y \[ E(z,t)=A(z,t)e^{i(\omega_0 t-\beta _0 z)} \]
Aplicando transformada de Fourier del campo óptico \[ E(z,t)=\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{E}(z,\omega)e^{i(\omega t - \beta z)} \;d\omega \]
Considerar la expansion de Taylor de la constante de propagación \[ \beta(\omega) = \beta_0 + \beta _1 (\omega - \omega_0 )+\frac{1}{2}\beta_2 (\omega - \omega_0)^2 + \Delta \beta_{NL} \]
Sustituir \[ \begin{align} E(z,t)=&e^{-i\beta_0 z}\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{E}(z,\omega)e^{i\omega t - i\beta_1 z \Delta \omega - i\frac{1}{2}\beta_2 z \Delta \omega^2-iz\Delta\beta_{NL} } \;d(\Delta\omega)\\ =&e^{i(\omega_0t-\beta_0 z)}\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{E}(z,\omega_0 +\Delta \omega)e^{it\Delta\omega-i\beta_1 z \Delta \omega - i\frac{1}{2}\beta_2 z \Delta \omega^2-iz\Delta\beta_{NL}} \;d(\Delta\omega)\\ \equiv&e^{i(\omega_0 t-\beta _0 z)} A(z,t) \end{align} \]

Derivación de la ecuación de Schrödinger

Hemos definido \[ A(z,t) = \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{E}(z,\omega_0 +\Delta \omega)e^{it\Delta\omega-i\beta_1 z \Delta \omega - i\frac{1}{2}\beta_2 z \Delta \omega^2-iz\Delta\beta_{NL}} \;d(\Delta\omega) =\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{E}(z,\omega_0 +\Delta \omega)e^{ig(z,t)} \;d(\Delta\omega) \]
Derivar \[ \begin{align} \frac{ \partial A(z,t)}{\partial t} =&\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{E}(z,\omega_0 +\Delta \omega)i\Delta \omega e^{ig(z,t)} \;d(\Delta\omega) \\ \frac{ \partial^2 A(z,t)}{\partial t^2} =&\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{E}(z,\omega_0 +\Delta \omega)(i\Delta \omega)^2 e^{ig(z,t)} \;d(\Delta\omega) \\ \frac{ \partial A(z,t)}{\partial z} =&\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{E}(z,\omega_0 +\Delta \omega)(-i\beta_1 \Delta \omega - i\frac{1}{2}\beta_2 \Delta \omega^2-i\Delta\beta_{NL}) e^{ig(z,t)} \;d(\Delta\omega) \end{align} \]
Combinar \[ \frac{ \partial A(z,t)}{\partial z} + \beta_1 \frac{ \partial A(z,t)}{\partial t} -i\frac{1}{2}\beta_2 \frac{ \partial^2 A(z,t)}{\partial t^2} = \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{E}(z,\omega_0 +\Delta \omega) \left[ ... \right]e^{ig(z,t)} \;d(\Delta\omega) \]
La expresión en $ [...] $ es $ -i\bar{n}_2k_0 I $
Entonces \[ \frac{ \partial A(z,t)}{\partial z} + \beta_1 \frac{ \partial A(z,t)}{\partial t} -i\frac{1}{2}\beta_2 \frac{ \partial^2 A(z,t)}{\partial t^2} = -i\bar{n}_2k_0I \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{E}(z,\omega_0 +\Delta \omega) e^{ig(z,t)} \;d(\Delta\omega) \]

Derivación de la ecuación de Schrödinger

Entonces \[ \frac{ \partial A(z,t)}{\partial z} + \beta_1 \frac{ \partial A(z,t)}{\partial t} -i\frac{1}{2}\beta_2 \frac{ \partial^2 A(z,t)}{\partial t^2} = -i\bar{n}_2k_0 I \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{E}(z,\omega_0 +\Delta \omega) e^{ig(z,t)} \;d(\Delta\omega) \]
\[ ``\qquad" \qquad = -i\bar{n}_2k_0 I A(z,t) \]
Por lo tanto

\[ \frac{ \partial A(z,t)}{\partial z} + \beta_1 \frac{ \partial A(z,t)}{\partial t} -i\frac{1}{2}\beta_2 \frac{ \partial^2 A(z,t)}{\partial t^2} = i\gamma |A(z,t)|^2A(z,t)-\frac{\alpha}{2}A(z,t) \]

Ecuación discreta no lineal de Schrödinger (DNLS)

Considere la dinámica de propagación en un arreglo discreto de fibras ópticas descrita por la ecuación discreta de Schrödinger no lineal (DNLS) \[ \begin{equation}\label{eq:DNLSE} i \frac{dc_n}{dz} = \epsilon_n c_n - k(c_{n+1}+c_{n-1}) + \sigma|c_n|^2c_n, \end{equation} \]
$ c_n $: amplitudes complejas, en el sitio $ n $, que dependen de la dirección de la variable de propagación $ z\in\mathbb{R} $
$ k $: fuerza uniforme de acoplamiento con el vecino más cercano
$ \epsilon_n $: perfil de índice de refracción in-situ
$ \sigma $: fuerza de no linealidad
$ \diamond $ El hamiltoniano que da lugar a las ecuaciones de movimiento viene dado por la ecuación \[ \begin{equation}\label{eq:hamiltonian} H_D = \sum_n \epsilon_n|c_n|^2 + \frac{\sigma}{2}|c_n|^4 - k\left(c_{n+1}c_n^*+c^*_{n+1}c_n \right). \end{equation} \]
Configuración ideal de guías de ondas ópticas idénticas, donde $ \epsilon_n $ es una constante fija $ \epsilon $.

Representación esquemática de un arreglo de guías de ondas ópticas planar. $ r_n $ es el radio de cada núcleo en particular

Parity-Time (PT) simetría

Quantum Mechanics	Optics
Schrödinger equation	Paraxial equation
$ i\hslash\frac{\partial\Psi}{dt}+\frac{h^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}-V\left(x\right)\Psi=0 $	$ i\lambda\frac{\partial E}{\partial z}+\frac{\lambda^{2}}{2}\frac{\partial^{2}E}{\partial x^{2}}+n\left(x\right)E=0 $
time	propagation distance
$ t $	$ z $
Plank’s constant	Wavelength
$ \hslash $	$ \lambda=\frac{1}{k} $
Probability amplitude	Electric field envelope
$ \Psi\left(x,t\right) $	$ E\left(x,z\right) $
Complex potential	Complex refraction
$ V\left(x\right)=V_{R}\left(x\right)+iV_{I}\left(x\right) $	$ n\left(x\right)=n_{R}\left(x\right)+in_{I}\left(x\right) $

Parity-Time (PT) simetría

Bender consideró si un sistema hamiltoniano mecánico cuántico con un potencial complejo puede tener un espectro real.
P: $ \hat{x}\rightarrow -\hat{x}\; $ y $ \;\hat{p}\rightarrow -\hat{p} $
T: $ \hat{x}\rightarrow \hat{x}\; $, $ \;\hat{p}\rightarrow -\hat{p}\; $, y $ \;i\rightarrow -i $
$ \hat{p} $: momentum operator.
$ \hat{x} $: space operator.
Condición de PT-simetría \[ V(x) = V^*(-x)\qquad n(x)= n^*(-x) \]
Esto se traduce en el potencial complejo cuya parte real es una función par mientras que la parte imaginaria es impar.
$ \circ $ Hamiltoniano PT-simétrico
- Puede tener un eigen-espectro real
- Eigen-estados PT-simétricos puede que occurran para cierto régimen paramétrico

Parity-Time (PT) simetría

Sistemas ópticos acoplados convencionales y PT-simétricos.

Rüter et al., Nature Physics, 2010

Propagación del haz en dos guías de ondas PT-simétricas no lineales. Metasuperficie

Ramezani et al. PR A 2010

Dispersor recubierto con una metasuperficie ultrafina con pérdida y ganancia equilibradas.

Sounas et al., Phys. Rev. Applied 2015

Fibras multi-núcleo no lineal PT-simétricas

Considere la dinámica de propagación del haz en una fibra discreta de múltiples núcleos de $ N $ sitios dispuestos igualmente espaciados en un anillo de radio $ R_0 $ donde cada núcleo tiene un radio $ r_0 $, descrito por las ecuaciones de modos acoplados ecuación discreta de Schrödinger no lineal (DNLS) \[ i\frac{{dc_{n}}}{dz}=k\left(c_{n+1}+c_{n-1}\right)+i\gamma_{n}c_{n}+\sigma|c_{n}|^{2}c_{n} \]
$ c_n $: representa amplitudes complejas, en el sitio $ n $, que dependen de la dirección de propagación $ z\in\mathbb{R} $
$ k $: fuerza uniforme del acoplamiento con el vecino más cercano
$ \gamma_n $:tasa de ganancia óptica ($ {\color{blue} {\gamma_n>0}} $) o pérdida ($ {\color{gray} {\gamma_n<0}} $)

Esquema de fibra óptica multi-core PT-simétrica

Fibras multi-núcleo no lineal helicoidal PT-simétricas

Considere la dinámica de propagación del haz en una fibra discreta de múltiples núcleos de $ N $ sitios dispuestos igualmente espaciados en un anillo de radio $ R_0 $ donde cada núcleo tiene un radio $ r_0 $, descrito por las ecuaciones de modos acoplados Dinámica de propagación en una matriz discreta de fibras ópticas descrita por la ecuación discreta de Schrodinger no lineal (DNLS) \[ i\frac{{dc_{n}}}{dz}=k\left({\color{orange} {e^{-i\phi}}}c_{n+1}+{\color{orange} {e^{i\phi}}}c_{n-1}\right)+i\gamma_{n}c_{n}+\sigma|c_{n}|^{2}c_{n} \]
$ c_n $: representa amplitudes complejas, en el sitio $ n $, que dependen de la dirección de la variable de propagación $ z\in\mathbb{R} $
$ k $: fuerza uniforme del acoplamiento con el vecino más cercano
$ \gamma_n $: tasa de ganancia óptica ($ {\color{blue} {\gamma_n>0}} $) o pérdida ($ {\color{gray} {\gamma_n<0}} $)
$ \phi $: Peierls phase

$Esquema de una fibra optica torcida$

Esquema de fibra óptica helicoidal PT-simétrica

Ruptura de PT-simetría: caso lineal

\[ i\frac{{dc_{n}}}{dz}=k\left(^{-i\phi}c_{n+1}+^{i\phi}c_{n-1}\right)+i\gamma_{n}c_{n} \]

PT-simetría alternante $ \gamma_n=(-1)^{n+1}\gamma $, $ \gamma=2.04 $
- Cambio de signo $ \Leftrightarrow $ ganancia/perdida
Condiciones de frontera periódicas $ c_{n + N} = c_n $
Otros valores usados $ \sigma=0 $, $ n_s=1.552 $, $ R_0=8\mu m $, $ \lambda=980nm $, $ r_0=0.91R_0 $

Observe the PT-symmetry breaking induced by the twist of the fiber. Esquema de una fibra óptica torcida

Longhi S., PT phase control in circular multi-core fibers. Optics letters, 2016.

Cuando se tuerce por un ángulo de $ \phi =\pi/6 $ se volve inestable :(

Ruptura de PT-simetría: caso lineal

Buscamos soluciones estacionarias de la forma \[ \begin{align} -\lambda A + 2k\cos{\phi}B+i\gamma A + \sigma|A|^2A=0, \label{eq:stationary_sol_reducida1}\\ -\lambda B + 2k\cos{\phi}A-i\gamma B + \sigma|B|^2B=0. \label{eq:stationary_sol_reducida2} \end{align} \]
Suponemos que $ A_n=A $ y $ B_n = B $, en el caso linear la ruptura de la fase PT corresponde a todos los $ \lambda $ reales, es decir \[ \sqrt{4\cos^{2}\phi}<\gamma/k \quad\text{y} \quad \sqrt{4\sin^{2}\phi\pm\sqrt{3}\sin{2\phi}}<\gamma/k \]

Displays these regions in the plane $ (\gamma/k,\phi) $

No lineal conservado (no PT)

\[ i\frac{{dc_{n}}}{dz}=k\left(e^{-i\phi}c_{n+1}+e^{i\phi}c_{n-1}\right)+{\color{gray} {i\gamma_{n}c_{n}}}+\sigma|c_{n}|^{2}c_{n} \] con $ \gamma_n =0 $

Introduce la transformación $ c_n = a_n(z)e^{i\varphi_ n} $, $ \varphi_ {n+1} −\varphi_n= \phi $
Las ecuaciones para $ a_n $ son la forma clásica uniforme, pero ahora la condición de frontera es modificada a $ a_{n+N} = a_n e^{ iN\varphi} $.
La transformación se refleja en el Hamiltoniano \[ H=\sum_{n=1}^N k \left( c_{n + 1} c_n^*e^{-i \phi} + c_n c^*_{n+1} e^{i \phi}\right)+\frac{\sigma}{2}|c_n|^4 = \sum_{n=1}^N k \left( a_{n + 1} a_n^* + a_n a^*_{n+1} \right)+\frac{\sigma}{2}|a_n|^4. \]
Poder total \[ P = \sum_n^N |c_n|^2 \]

No lineal, helicoidal, pero conservado

Este comportamiento sugiere que la característica topológica del giro y su efecto sobre la dinámica es bastante robusto a las contribuciones no lineales que afectan principalmente a las fases individuales

Evolution of field intensities for cores 1 (solid) and 4 (dashed) in the nonlinear, conservative, and defocusing case with $ \gamma = 0 $. Left and right panels correspond to non-twisted and twisted scenarios respectively.

No lineal, helicoidal, casi PT-simétrico

Buscamos soluciones estacionarias de la forma \[ c_{n}=\begin{cases} A_{n}e^{-i\lambda z}, & n=\text{impar}\\ B_{n}e^{-i\lambda z}, & n=\text{par} \end{cases} \] asumiendo $ A_n=A $ y $ B_n = B $
Nos lleva a \[ \begin{align} -\lambda A + 2k\cos{\phi}B+i\gamma A + \sigma|A|^2A=0, \label{eq:stationary_sol_reducida1}\\ -\lambda B + 2k\cos{\phi}A-i\gamma B + \sigma|B|^2B=0. \label{eq:stationary_sol_reducida2} \end{align} \]
Por el momento $ \gamma =0 $
Notamos que podemos intercambiar $ A $ con $ B $ \[ A\left(-\lambda + 2k\cos{\phi}+ \sigma|A|^2\right)=0. \label{eq:stationary_sol_reducida_A_order0} \]
Desde donde podemos notar que existirá una solución no trivial si \[ \lambda> 2k \cos \phi \] cuando $ \sigma $ es positivo.

Soluciones numéricas $ k = 1 $, $ \sigma = 1 $, $ \gamma = 0 $, varios valores de $ \phi $. El código de color es azul para $ \pi/8 $, naranja para $ \pi/6 $, amarillo para $ \pi/5 $ y violeta para $ \pi/4 $

No lineal, helicoidal, PT-simétrico

Considere un caso donde la fuerza de ganancia/pérdida es cercana a cero y que puede expandirse en términos de un parámetro pequeño $ \epsilon<<1 $
Nos gustaría continuar esta solución en un vecindad de $ ((A^{(0)}, B^{(0)})^T, \gamma^{(0)}) $, aquí $ A^{(0)} $ denota la solución asociada al caso $ \gamma = \gamma^{(0)} = 0 $.
Introducimos expansiones en términos de $ \epsilon $ \[ \begin{array}{rl} \gamma =& \gamma^{(0)} + \epsilon \gamma^{(1)} + \epsilon^2 \gamma^{(2)},\\ \lambda =& \lambda^{(0)} + \epsilon \lambda^{(1)} + \epsilon^2 \lambda^{(2)},\\ A=&A^{(0)}+\epsilon A^{(1)}+\epsilon^2 A^{(2)}, \textrm{y} \\ B=&B^{(0)}+\epsilon B^{(1)}+\epsilon^2 B^{(2)}. \end{array} \]
A medida que activamos $ \gamma $, sustituimos estas expansiones en. Los términos proporcionales a $ \epsilon $ nos dan ecuaciones para $ A^{(1)} $ y $ B^{(1)} $ \[ \mathcal{M}U^{(1)}=\Psi U^{(0)} \qquad(\mathcal{O}(\epsilon)) \] donde $ U^{(j)}=\left(ReA^{(j)},ReB^{(j)},ImA^{(j)},ImB^{(j)}\right)^{T} $ con $ j=0,1. $

No lineal, helicoidal, PT-simétrico: existencia

For a given $ \lambda^{(0)} $ and $ \phi $ we want to find solutions of (Eq. $ \mathcal{O}(\epsilon) $. We will consider three cases

Caso 1: $ \lambda^{(0)}<2k\cos\phi, $
Caso 2: $ \lambda^{(0)}=2k\cos\phi, $
Caso 3: $ \lambda^{(0)}>2k\cos\phi. $

Now consider $ \lambda^{(0)}>2k\cos\phi $, and using that $ A^{(0)}=B^{(0)}, $ we can rewrite the determinant of $ \mathcal{M} $ as a function of $ \sigma, k, \phi, \lambda^{(0)}, x_{1}^{(0)} $, and $ y_{1}^{(0)} $.
Let $ \sigma=1, k=1, $ and $ \phi=\pi/6 $. We have plotted the level sets on the $ (x_ 1^{(0)},y_ 1^{(0)},\lambda^{(0)}) $-plane where $ \mathcal{M} $ is singular.

Superficies de nivel $ (x_ 1^{(0)},y_ 1^{(0)},\lambda^{(0)}) $-plano donde $ \mathrm{det}\mathcal{M}=0 $

Condición de solubilidad: existencia

En tales casos, $ \mathcal{M} $ no tendrá una inversa en el sentido ordinario, entonces podemos establecer una condición para la existencia de una solución como sigue \[ \Psi U^{(0)}\bot \mathrm{Null}\mathcal{M}^{T}. \]
La solución de norma mínima para un problema de mínimos cuadrados con matriz de coeficientes $ \mathcal{M} $ es \[ U^{(1)}=\mathcal{M}^{+}\Psi U^{(0)} \]
Entonces $ \mathrm{Null}\mathcal{M}^{(0)T} $ está descrita por \[ \mathrm{Null}\mathcal{M}^{(0)T}=\left\{ \left(-\frac{m_{13}}{m_{12}} \alpha, -\frac{m_{13}}{m_{12}}\beta, \beta, \alpha \right)^{T}\arrowvert \alpha,\beta \in \mathbb{R} \right\} \]
Explícitamente
\[ \alpha\left[\left(\gamma^{(1)}-\lambda^{(1)}\right)\frac{\sigma x_{1}^{(0)2}y_{1}^{(0)}}{k\cos{\phi}}+\left(\gamma^{(1)}+\lambda^{(1)}\right)y_2^{(0)}\right]+ \beta\left[\left(-\gamma^{(1)}-\lambda^{(1)}\right)\frac{\sigma x_{2}^{(0)2}y_{2}^{(0)}}{k\cos{\phi}}+\left(-\gamma^{(1)}+\lambda^{(1)}\right)y_1^{(0)}\right]=0. \]

Condición de solubilidad: existencia

A partir de esta ecuación, podemos resolver al orden $ \gamma^{(1)} $ dado $ \lambda^{(1)} $, $ \alpha $ y $ \beta $, para cada $ \lambda^{(0)} $.
Bajo la premisa de que la pseudoinversa coincide con la matriz inversa para los casos no singulares, hemos obtenido $ A^{(1)} $ y $ B^{(1)} $ en términos de $ \lambda^{(0)} $.
La figura a la derecha muestra que términos calculados de corrección de la amplitud

Soluciones estacionarias de orden $ \epsilon $ para varios valores de $ \phi $

Análisis de estabilidad

Comportamiento de las soluciones estacionarias ante pequeñas perturbaciones
Introduzca pequeñas perturbaciones $ \delta_a (z) $ y $ \delta_b (z) $, y escriba las amplitudes en la forma \[ A_n=\left(A^{s}+\delta_{a}\left(z\right)\right)e^{-i\lambda z}\qquad \text{and} \qquad B_n=\left(B^{s}+\delta_{b}\left(z\right)\right)e^{-i\lambda z} \]
Se obtienen las ecuaciones de linearization \[ \begin{align} i\frac{d\delta_a}{dz}=& -\lambda \delta_a +2 k \cos{\phi}\delta_b+i\gamma\delta_a+2\sigma|A^s|^2\delta_a+ \sigma(A^s)^2\delta_a^*, \label{eq:perturbation_linear_a}\\ i\frac{d\delta_b}{dz}=& -\lambda \delta_b +2 k \cos{\phi}\delta_a-i\gamma\delta_b+2\sigma|B^s|^2\delta_b+ \sigma(B^s)^2\delta_b^*, \label{eq:perturbation_linear_b} \end{align} \]

Análisis de estabilidad

Ganancia de inestabilidad $ p $ como la parte real del valor propio con la mayor parte real positiva en términos de la constante de propagación y la no linealidad.

Ganancia de inestabilidad. Sin giro (izquierda) Con giro (derecha).

Los modos estacionarios no lineales que se propagan en guías de ondas multinúcleo radialmente simétricas con ganancia y pérdida equilibradas son altamente inestables.

Conclusiones

Exploramos cómo la dinámica de la fibra no lineal con seis núcleos se ve afectada por un giro inducido en el escenario cuando la ganancia/ pérdida no está presente en el modelo y cuando hay un perfil de ganancia/ pérdida alternante.
Los resultados numéricos destacan el potencial de inducir una torsión de fibra para controlar la dinámica de la luz en fibras de múltiples núcleos no lineales y sugieren un escenario rico para una mayor exploración del espacio de parámetros.

¡Gracias!

Quantum Mechanics	Optics
Schrödinger equation	Paraxial equation
\( i\hslash\frac{\partial\Psi}{dt}+\frac{h^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}-V\left(x\right)\Psi=0 \)	\( i\lambda\frac{\partial E}{\partial z}+\frac{\lambda^{2}}{2}\frac{\partial^{2}E}{\partial x^{2}}+n\left(x\right)E=0 \)
time	propagation distance
\( t \)	\( z \)
Plank’s constant	Wavelength
\( \hslash \)	\( \lambda=\frac{1}{k} \)
Probability amplitude	Electric field envelope
\( \Psi\left(x,t\right) \)	\( E\left(x,z\right) \)
Complex potential	Complex refraction
\( V\left(x\right)=V_{R}\left(x\right)+iV_{I}\left(x\right) \)	\( n\left(x\right)=n_{R}\left(x\right)+in_{I}\left(x\right) \)